Pontos no Plano e no Espaço
- Representação: Um ponto no plano cartesiano (x, y) pode ser representado por um vetor posição OP = (x, y), onde O é a origem do sistema de coordenadas. Analogamente, um ponto no espaço tridimensional (x, y, z) é representado pelo vetor posição OP = (x, y, z).
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- Distância entre dois pontos: A distância entre dois pontos A e B é dada pela magnitude do vetor AB = OB – OA. No plano, a distância é calculada por √((x₂ – x₁)² + (y₂ – y₁)²), e no espaço, por √((x₂ – x₁)² + (y₂ – y₁)² + (z₂ – z₁)²).
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- Ponto médio: O ponto médio entre dois pontos A e B é dado por M = (A + B)/2. No plano, as coordenadas do ponto médio são ((x₁ + x₂)/2, (y₁ + y₂)/2), e no espaço, são ((x₁ + x₂)/2, (y₁ + y₂)/2, (z₁ + z₂)/2).
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Retas
- Equação vetorial: Uma reta no plano ou no espaço pode ser definida por um ponto P₀ (vetor posição OP₀) e um vetor diretor v. A equação vetorial da reta é dada por OP = OP₀ + tv, onde t é um parâmetro escalar.
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- Equações paramétricas: A partir da equação vetorial, podemos obter as equações paramétricas da reta:
- No plano: x = x₀ + tv₁, y = y₀ + tv₂
- No espaço: x = x₀ + tv₁, y = y₀ + tv₂, z = z₀ + tv₃
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- Equação cartesiana: No plano, a equação cartesiana da reta é dada por ax + by + c = 0. No espaço, a reta é definida pela interseção de dois planos, cada um com uma equação cartesiana.
Planos
- Equação vetorial: Um plano no espaço pode ser definido por um ponto P₀ (vetor posição OP₀) e dois vetores diretores v e w linearmente independentes. A equação vetorial do plano é dada por OP = OP₀ + sv + tw, onde s e t são parâmetros escalares.
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- Equações paramétricas: A partir da equação vetorial, podemos obter as equações paramétricas do plano: x = x₀ + sv₁ + tw₁, y = y₀ + sv₂ + tw₂, z = z₀ + sv₃ + tw₃
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- Equação cartesiana: A equação cartesiana de um plano é dada por ax + by + cz + d = 0, onde o vetor normal ao plano é n = (a, b, c).
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Aplicações Adicionais
- Interseção de retas e planos: Vetores podem ser usados para encontrar a interseção entre retas, entre planos e entre retas e planos.
- Paralelismo e perpendicularidade: Vetores permitem determinar se retas e planos são paralelos ou perpendiculares.
- Ângulos: Vetores podem ser usados para calcular ângulos entre retas, entre planos e entre retas e planos.