O produto escalar é uma operação fundamental entre vetores que nos permite relacionar a geometria e a álgebra vetorial. Ele fornece um escalar (um número real) como resultado, diferentemente do produto vetorial, que resulta em um vetor. O produto escalar tem diversas aplicações em áreas como física, engenharia e computação gráfica.

Definição

Dados dois vetores u e v, o produto escalar entre eles, denotado por u ⋅ v, é definido como:

u ⋅ v = |u| |v| cos(θ)

onde:

• |u| e |v| representam as magnitudes (comprimentos) dos vetores u e v, respectivamente.
• θ é o ângulo entre os vetores u e v.

Propriedades

O produto escalar possui diversas propriedades importantes:

1. Comutatividade: u ⋅ v = v ⋅ u
2. Distributividade: u ⋅ (v + w) = u ⋅ v + u ⋅ w
3. Associatividade: (αu) ⋅ v = α(u ⋅ v), onde α é um escalar.
4. Produto escalar de um vetor por si mesmo: u ⋅ u = |u|²
5. Ortogonalidade: Se u e v são ortogonais (o ângulo entre eles é 90°), então u ⋅ v = 0.
6. Paralelismo: Se u e v são paralelos (o ângulo entre eles é 0° ou 180°), então u ⋅ v = ±|u| |v|.

Cálculo do Produto Escalar

O produto escalar também pode ser calculado utilizando as componentes dos vetores em um sistema de coordenadas cartesianas. Se u = (u₁, u₂, …, uₙ) e v = (v₁, v₂, …, vₙ), então:

u ⋅ v = u₁v₁ + u₂v₂ + … + uₙv

Aplicações

O produto escalar possui diversas aplicações, incluindo:

• Cálculo do ângulo entre vetores: cos(θ) = (u ⋅ v) / (|u| |v|)

• Projeção de um vetor sobre outro: A projeção do vetor u sobre o vetor v é dada por:

Proj_v(u) = ((u ⋅ v) / |v|^2) v

• Trabalho realizado por uma força: O trabalho W realizado por uma força F ao deslocar um objeto por um vetor d é dado por:

W = F ⋅ d

Exercícios

1. Calcule o produto escalar entre os vetores u = (2, 3) e v = (-1, 4).
2. Determine o ângulo entre os vetores u = (1, 0, 1) e v = (0, 1, 0).
3. Calcule a projeção do vetor u = (3, 4) sobre o vetor v = (5, 0).