Esta seção oferece uma revisão conceitual aprofundada dos tópicos fundamentais que você deve dominar para ter sucesso em uma prova de Cálculo 3, especialmente voltada para Física. Inclui definições, propriedades essenciais, e aspectos conceituais frequentemente cobrados.

1. Integrais Triplas

• Definição: Generalização das integrais duplas para funções de três variáveis em uma região tridimensional \( D \).
• Objetivos: Calcular volume, massa, carga, energia total etc., distribuídos em um volume.
• Ordem de Integração: Escolher a ordem ideal conforme os limites da região.
• Geometria do domínio: Capacidade de visualizar a região tridimensional e expressá-la com limites apropriados.
• Interpretação física: Integrar densidades volumétricas ou funções escalares sobre domínios espaciais.

2. Mudança de Variáveis em Integrais Triplas

• Objetivo: Simplificar a forma da função ou da região de integração.
• Jacobiano: Compreensão e cálculo do determinante da matriz Jacobiana da transformação:

  \[
  J = \left| \frac{\partial(x, y, z)}{\partial(u, v, w)} \right|
  \]

• Transformações comuns: Coordenadas cilíndricas e esféricas, mas também transformações arbitrárias.
• Capacidade de descrever uma região \( D \) em novas coordenadas.

3. Coordenadas Esféricas

• Definições: Saber as relações:
  • \( x = \rho \sin\phi \cos\theta \)
  • \( y = \rho \sin\phi \sin\theta \)
  • \( z = \rho \cos\phi \)
• Elemento de volume:

  \[
  dV = \rho^2 \sin\phi \, d\rho \, d\phi \, d\theta
  \]

• Domínio esférico: Capacidade de descrever esferas, octantes, cones e regiões limitadas por cascas esféricas.
• Integração em coordenadas esféricas: Escolha adequada da ordem de integração com base nos limites.

4. Centro de Massa

• Conceito: Ponto médio ponderado de uma distribuição de massa em 3D.
• Integral para massa:

  \[
  M = \iiint_D \delta(x,y,z) \, dV
  \]

• Centro de massa:

  \[
  \bar{x} = \frac{1}{M} \iiint_D x \delta(x, y, z) \, dV, \quad \text{etc.}
  \]

• Simplificações por simetria: Identificação de planos de simetria para facilitar os cálculos.
• Aplicação física: Dinâmica de sistemas, estabilidade e equilíbrio de corpos rígidos.

5. Momento de Inércia

• Conceito: Medida da resistência de um corpo à rotação em torno de um eixo.
• Equações principais:

  \[
  I_z = \iiint_D (x^2 + y^2)\delta(x, y, z) \, dV
  \]

• Importância da densidade: Distribuição de massa variável influencia fortemente o momento de inércia.
• Distância ao eixo: O momento de inércia depende da distância ao quadrado ao eixo de rotação.
• Uso em Física: Rotação de corpos rígidos, energia cinética rotacional, teorema dos eixos paralelos.

6. Integrais de Linha

• Definição: Soma ponderada ao longo de uma curva. Duas formas principais:
  • Integral de função escalar ao longo da curva:
    \[
    \int_C f(x,y)\, ds
    \]
  • Integral de campo vetorial:
    \[
    \int_C \vec{F} \cdot d\vec{r}
    \]
• Parametrização: Expressar \( x(t), y(t) \) para \( t \in [a, b] \).
• Interpretação: Trabalho de uma força, fluxo de campo, comprimento de curva, etc.

7. Campos Conservativos

• Definição: Campo vetorial é conservativo se \( \vec{F} = \nabla f \).
• Teorema Fundamental das Integrais de Linha:

  \[
  \int_C \vec{F} \cdot d\vec{r} = f(B) – f(A)
  \]

  quando \( \vec{F} \) é conservativo.

• Critério de conservatividade:
  • Em \( \mathbb{R}^2 \): \( \frac{\partial Q}{\partial x} = \frac{\partial P}{\partial y} \)
  • Em \( \mathbb{R}^3 \): \( \nabla \times \vec{F} = \vec{0} \) em região simplesmente conexa
• Função potencial: Saber encontrar \( f(x,y,z) \) dado \( \vec{F} \).

8. Teorema de Green

• Relaciona: Integral de linha ao redor de uma curva fechada com uma integral dupla sobre a região que ela envolve.
• Forma do Teorema:

  \[
  \oint_C P\,dx + Q\,dy = \iint_R \left( \frac{\partial Q}{\partial x} – \frac{\partial P}{\partial y} \right)\, dx\,dy
  \]

• Requisitos:
  • Curva \( C \) deve ser fechada, simples e positivamente orientada.
  • Funções \( P, Q \) devem ter derivadas contínuas em uma região que contém \( R \).
• Aplicações:
  • Cálculo de áreas (usando \( P = -y/2, Q = x/2 \))
  • Verificar se \( \vec{F} \) é conservativo
  • Simplificar integrais de linha

Conclusão

Estes conceitos formam a base do Cálculo Multivariável e suas aplicações físicas. Foque na visualização geométrica das regiões, no domínio das parametrizações e nas conexões entre diferentes tipos de integrais e teoremas fundamentais do cálculo vetorial.

Pratique bastante com exercícios envolvendo mudança de coordenadas, integrais em regiões não triviais e interpretação física das integrais.