Em álgebra linear, autovalores (ou valores próprios) e autovetores (ou vetores próprios)
são conceitos fundamentais usados na análise de transformações lineares. Eles aparecem em diversas áreas, como física, estatística, aprendizado de máquina, economia, entre outras.

Definição Formal

Seja \( A \) uma matriz quadrada de ordem \( n \times n \) sobre os reais ou complexos. Um vetor não-nulo \( \vec{v} \in \mathbb{R}^n \) (ou \( \mathbb{C}^n \)) é chamado de autovetor de \( A \)
se existe um escalar \( \lambda \in \mathbb{R} \) (ou \( \mathbb{C} \)) tal que:

\( A\vec{v} = \lambda \vec{v} \)

O escalar \( \lambda \) é chamado de autovalor correspondente ao autovetor \( \vec{v} \).

Interpretação Geométrica

A equação \( A\vec{v} = \lambda\vec{v} \) nos diz que a aplicação linear \( A \) transforma o vetor \( \vec{v} \) em um múltiplo escalar de si mesmo. Ou seja, a direção do vetor não muda, apenas sua magnitude (pode aumentar, diminuir ou inverter o sentido se \( \lambda < 0 \)).

Equação Característica

Para encontrar os autovalores de uma matriz \( A \), resolvemos a seguinte equação:

\( \det(A – \lambda I) = 0 \)

Essa equação é chamada de equação característica de \( A \), e suas raízes são os autovalores.

Exemplo Prático

Considere a matriz:

\( A = \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{bmatrix} \)

Vamos encontrar os autovalores resolvendo:

\( \det(A – \lambda I) = \det\left( \begin{bmatrix} 2 – \lambda & 1 \\ 1 & 2 – \lambda \end{bmatrix} \right) = 0 \)

\( (2 – \lambda)^2 – 1 = \lambda^2 – 4\lambda + 3 = 0 \)

As raízes são:

\( \lambda_1 = 1, \quad \lambda_2 = 3 \)

Para \( \lambda = 1 \), resolvemos \( (A – I)\vec{v} = 0 \):

\( \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix} \vec{v} = 0 \Rightarrow v_1 = -v_2 \)

Assim, um autovetor correspondente a \( \lambda = 1 \) é \( \vec{v}_1 = \begin{bmatrix} 1 \\ -1 \end{bmatrix} \).

Para \( \lambda = 3 \), resolvemos \( (A – 3I)\vec{v} = 0 \):

\( \begin{bmatrix} -1 & 1 \\ 1 & -1 \end{bmatrix} \vec{v} = 0 \Rightarrow v_1 = v_2 \)

Assim, um autovetor correspondente a \( \lambda = 3 \) é \( \vec{v}_2 = \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix} \).

Propriedades Importantes

• Uma matriz \( n \times n \) possui no máximo \( n \) autovalores distintos.
• Se \( A \) é simétrica (i.e., \( A = A^T \)), então todos os autovalores são reais.
• Se \( A \) é diagonalizável, então existe uma base de autovetores de \( \mathbb{R}^n \) (ou \( \mathbb{C}^n \)).
• A soma dos autovalores (contando multiplicidades) é igual à traça da matriz: \( \text{tr}(A) = \sum \lambda_i \).
• O produto dos autovalores é igual ao determinante da matriz: \( \det(A) = \prod \lambda_i \).

Aplicações

• Física: análise de tensores de inércia, vibrações, sistemas dinâmicos.
• Estatística: análise de componentes principais (PCA).
• Engenharia: estabilidade de estruturas, controle de sistemas.
• Computação: algoritmos de redes neurais, aprendizado de máquina, compressão de dados.

Diagonalização

Uma matriz \( A \) é diagonalizável se existe uma matriz invertível \( P \) tal que:

\( A = PDP^{-1} \)

Onde \( D \) é uma matriz diagonal com os autovalores de \( A \) nas diagonais, e as colunas de \( P \) são os autovetores correspondentes.

Conclusão

Autovalores e autovetores fornecem uma maneira poderosa de compreender e simplificar transformações lineares. Eles desempenham papel central na teoria de matrizes, em equações diferenciais, e em muitas aplicações científicas e tecnológicas.

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