Uma vez que sabemos como representar e identificar vetores, é importante entender como podemos manipulá-los e combiná-los para resolver problemas físicos. As operações com vetores incluem adição, subtração e multiplicação por escalar.
Adição de vetores
Para somar dois ou mais vetores, podemos usar o método gráfico (desenhando as setas) ou o método analítico (utilizando componentes). O mais comum é usar o método do polígono ou o método do triângulo.
Exemplo de adição: Vamos somar dois vetores \( \vec{A} \) e \( \vec{B} \). Colocamos os vetores ponta a ponta, e o vetor resultante \( \vec{R} \) é a linha que liga a origem do primeiro vetor à ponta do segundo vetor.
#inserir imagem aqui# – Imagem sugerida: dois vetores sendo somados usando o método do triângulo (vetores ponta a ponta).
Subtração de vetores
A subtração de vetores é feita de forma semelhante à adição, mas com uma pequena modificação. Para subtrair o vetor \( \vec{B} \) do vetor \( \vec{A} \), basta inverter o vetor \( \vec{B} \) (inverter a direção) e depois somá-lo a \( \vec{A} \).
Exemplo de subtração: Se \( \vec{A} = 5 \, \hat{i} + 3 \, \hat{j} \) e \( \vec{B} = 2 \, \hat{i} + 4 \, \hat{j} \), então a subtração \( \vec{A} – \vec{B} \) seria \( \vec{A} + (-\vec{B}) \), resultando em \( \vec{A} – \vec{B} = (5 – 2) \hat{i} + (3 – 4) \hat{j} = 3 \, \hat{i} – 1 \, \hat{j} \).
#inserir imagem aqui# – Imagem sugerida: subtração de vetores com setas indicando a direção invertida do vetor \( \vec{B} \).
Multiplicação de um vetor por um escalar
Multiplicar um vetor por um número (escalar) altera seu módulo, mas não sua direção. Se multiplicarmos o vetor \( \vec{A} \) por um número \( k \), o vetor resultante \( k\vec{A} \) terá o módulo multiplicado por \( k \), mas a direção e o sentido permanecem os mesmos se \( k \) for positivo, ou opostos se \( k \) for negativo.
Exemplo: Se \( \vec{A} = 3 \hat{i} + 4 \hat{j} \) e \( k = 2 \), então \( 2\vec{A} = 2 \times (3 \hat{i} + 4 \hat{j}) = 6 \hat{i} + 8 \hat{j} \).
#inserir imagem aqui# – Imagem sugerida: vetor \( \vec{A} \) multiplicado por um escalar, mostrando o vetor resultante com maior módulo ou direção invertida (caso \( k \) seja negativo).
Resumo
- Adição de vetores: pode ser feita graficamente ou analiticamente, com o vetor resultante formado pela união das pontas dos vetores.
- Subtração de vetores: inverte-se o vetor a ser subtraído e depois soma-se ao vetor original.
- Multiplicação de um vetor por um escalar: altera o módulo do vetor, mas não sua direção (se \( k > 0 \)) ou inverte sua direção (se \( k < 0 \)).
🧠 Exercícios Resolvidos
Exercício 1 – Adição de vetores
Dados os vetores \( \vec{A} = 4 \hat{i} + 3 \hat{j} \) e \( \vec{B} = 2 \hat{i} + 5 \hat{j} \), calcule \( \vec{R} = \vec{A} + \vec{B} \).
Exercício 2 – Subtração de vetores
Dados os vetores \( \vec{A} = 5 \hat{i} + 7 \hat{j} \) e \( \vec{B} = 3 \hat{i} + 2 \hat{j} \), calcule \( \vec{C} = \vec{A} – \vec{B} \).
Exercício 3 – Multiplicação de vetor por escalar
Dados o vetor \( \vec{A} = 2 \hat{i} – 3 \hat{j} \) e o escalar \( k = -2 \), calcule \( k \vec{A} \).