Este conteúdo apresenta problemas resolvidos com maior profundidade conceitual e técnica, abordando aplicações relevantes na Física e matemática avançada.

1. Integral Tripla – Massa de um Paraboloide com Densidade Variável

Enunciado: Calcule a massa da região limitada por \( z = 9 – x^2 – y^2 \) e \( z = 0 \), com densidade \( \delta(x,y,z) = z \).

Resolução: Coordenadas cilíndricas:

• \( x = r\cos\theta \)
• \( y = r\sin\theta \)
• \( z = z \)
• \( \delta = z \), \( dV = r\,dz\,dr\,d\theta \)

Região de integração: \( 0 \leq r \leq 3 \), \( 0 \leq \theta \leq 2\pi \), \( 0 \leq z \leq 9 – r^2 \)

\[
M = \int_0^{2\pi} \int_0^3 \int_0^{9 – r^2} z \cdot r \, dz\,dr\,d\theta
= \int_0^{2\pi} d\theta \int_0^3 r \left[ \frac{z^2}{2} \right]_0^{9 – r^2} \, dr
\]

\[
= 2\pi \int_0^3 \frac{r(9 – r^2)^2}{2} \, dr
\]

Expansão do integrando:

\[
(9 – r^2)^2 = 81 – 18r^2 + r^4 \Rightarrow
\int_0^3 r(81 – 18r^2 + r^4)\,dr = \int_0^3 (81r – 18r^3 + r^5)\,dr
\]

\[
= \left[ \frac{81}{2}r^2 – \frac{18}{4}r^4 + \frac{1}{6}r^6 \right]_0^3
= \left( \frac{81}{2}\cdot 9 – \frac{9}{2} \cdot 81 + \frac{1}{6} \cdot 729 \right)
= \frac{729}{2} – \frac{729}{2} + 121.5 = 121.5
\]

\[
M = 2\pi \cdot \frac{121.5}{2} = 121.5\pi
\]

Resposta: \( M = \frac{243\pi}{2} \)

2. Mudança de Variáveis – Região com Fronteiras Não Ortogonais

Enunciado: Calcule \( \iint_R (x^2 + y^2)\,dx\,dy \), onde \( R \) é o losango com vértices \( (0,0), (2,2), (0,4), (-2,2) \). Use a mudança \( u = x + y, \ v = x – y \).

Resolução: Inversas:

\[
x = \frac{u + v}{2}, \quad y = \frac{u – v}{2} \Rightarrow x^2 + y^2 = \frac{u^2 + v^2}{2}
\]

Jacobiano:
\[
\left| \frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)} \right| =
\left| \begin{matrix}
1/2 & 1/2 \\
1/2 & -1/2
\end{matrix} \right| = -\frac{1}{2} \Rightarrow |J| = \frac{1}{2}
\]

Região \( R \) se transforma em um quadrado \( |u| \leq 4, \ |v| \leq 2 \)

\[
\iint_S \frac{u^2 + v^2}{2} \cdot \frac{1}{2} \, du\,dv
= \frac{1}{4} \left( \int_{-4}^4 u^2\,du \int_{-2}^2 dv + \int_{-2}^2 v^2\,dv \int_{-4}^4 du \right)
\]

\[
= \frac{1}{4} \left( \frac{2 \cdot 64^3}{3} \cdot 4 + \frac{2 \cdot 8^3}{3} \cdot 8 \right) = \frac{1}{4}(204.8 + 85.3) \approx 72.5
\]

Resposta: \( \approx 72.5 \)

3. Coordenadas Esféricas – Região Limitada por Esfera e Cone

Enunciado: Calcule o volume da região entre a esfera \( x^2 + y^2 + z^2 = 9 \) e o cone \( z = \sqrt{x^2 + y^2} \).

Resolução: Em coordenadas esféricas:

• \( \rho \in [0,3] \), \( \theta \in [0, 2\pi] \), \( \phi \in [0, \frac{\pi}{4}] \) (pois \( z = r \Rightarrow \phi = \frac{\pi}{4} \))

\[
V = \int_0^{2\pi} \int_0^{\pi/4} \int_0^3 \rho^2 \sin\phi\, d\rho\, d\phi\, d\theta
= 2\pi \int_0^{\pi/4} \sin\phi\, d\phi \int_0^3 \rho^2\, d\rho
\]

\[
= 2\pi \cdot (1 – \cos(\pi/4)) \cdot \frac{27}{3}
= 2\pi \cdot (1 – \frac{\sqrt{2}}{2}) \cdot 9
= 18\pi \left(1 – \frac{\sqrt{2}}{2} \right)
\]

Resposta: \( 18\pi \left(1 – \frac{\sqrt{2}}{2} \right) \)

4. Centro de Massa – Arco de Círculo com Densidade Angular

Enunciado: Encontre o centro de massa de um arco de círculo de raio \( R \), do ângulo \( \theta = 0 \) a \( \theta = \pi \), com densidade \( \delta(\theta) = \sin\theta \).

Resolução:

Comprimento infinitesimal: \( ds = R\,d\theta \)

\[
x(\theta) = R\cos\theta, \quad y(\theta) = R\sin\theta
\]

\[
\bar{x} = \frac{1}{M} \int_0^\pi R\cos\theta \cdot \sin\theta \cdot R\,d\theta
= \frac{R^2}{M} \int_0^\pi \cos\theta \sin\theta\,d\theta = 0
\]

\[
\bar{y} = \frac{1}{M} \int_0^\pi R\sin\theta \cdot \sin\theta \cdot R\,d\theta
= \frac{R^2}{M} \int_0^\pi \sin^2\theta\,d\theta = \frac{R^2}{M} \cdot \frac{\pi}{2}
\]

\[
M = \int_0^\pi \delta(\theta) R\,d\theta = R \int_0^\pi \sin\theta\,d\theta = 2R
\Rightarrow \bar{y} = \frac{R^2 \cdot \pi/2}{2R} = \frac{\pi R}{4}
\]

Resposta: \( \bar{x} = 0, \quad \bar{y} = \frac{\pi R}{4} \)

5. Integral de Linha – Campo não conservativo

Enunciado: Calcular \( \int_C \vec{F} \cdot d\vec{r} \), onde \( \vec{F} = (-y, x) \), e \( C \) é a curva \( x(t) = \cos t, y(t) = \sin t \), \( 0 \leq t \leq 2\pi \).

Resolução: Essa curva descreve a volta completa no círculo unitário.

\[
\vec{F}(t) = (-\sin t, \cos t), \quad \vec{r}\,'(t) = (-\sin t, \cos t)
\Rightarrow \vec{F} \cdot \vec{r}\,’ = \sin^2 t + \cos^2 t = 1
\Rightarrow \int_0^{2\pi} dt = 2\pi
\]

Resposta: \( 2\pi \)

6. Teorema de Green – Cálculo de Área via Integral de Linha

Enunciado: Use o Teorema de Green para calcular a área da região limitada por \( C \), sendo \( C \) a curva \( x(t) = \cos^3 t, y(t) = \sin^3 t \), \( 0 \leq t \leq 2\pi \).

Resolução: Usamos:
\[
\text{Área} = \frac{1}{2} \oint_C x\,dy – y\,dx
\]

\[
dx = -3\cos^2 t \sin t\,dt, \quad dy = 3\sin^2 t \cos t\,dt
\]

\[
x\,dy – y\,dx = \cos^3 t \cdot 3\sin^2 t \cos t – \sin^3 t \cdot (-3\cos^2 t \sin t) = 3\cos^4 t \sin^2 t + 3\sin^4 t \cos^2 t
\]

\[
\Rightarrow \text{Área} = \frac{1}{2} \int_0^{2\pi} 3(\cos^4 t \sin^2 t + \sin^4 t \cos^2 t)\,dt
= \frac{3}{2} \int_0^{2\pi} \cos^2 t \sin^2 t (\cos^2 t + \sin^2 t)\,dt
\]

\[
= \frac{3}{2} \int_0^{2\pi} \cos^2 t \sin^2 t\,dt
= \frac{3}{2} \cdot \frac{\pi}{2} = \frac{3\pi}{4}
\]

Resposta: \( \frac{3\pi}{4} \)