A seguir, apresentamos uma série de exercícios resolvidos que abrangem os principais tópicos de Cálculo 3. Esses exemplos têm como objetivo ajudar na fixação dos conceitos e na prática da resolução passo a passo.

1. Integral Tripla: Volume de uma Paráboloide

Enunciado: Calcule o volume da região limitada superiormente pela superfície \( z = 4 – x^2 – y^2 \) e inferiormente pelo plano \( z = 0 \).

Resolução:

Essa região é um sólido de revolução. Usamos coordenadas cilíndricas:

• \( x = r\cos\theta \)
• \( y = r\sin\theta \)
• \( z = z \)
• \( dV = r\,dz\,dr\,d\theta \)

A projeção no plano \( xy \) é o disco \( x^2 + y^2 \leq 4 \) ⇒ \( 0 \leq r \leq 2 \)

\[
\iiint_D 1\,dV = \int_0^{2\pi} \int_0^2 \int_0^{4 – r^2} r\,dz\,dr\,d\theta
\]

Calculando:

\[
\int_0^{2\pi} d\theta \int_0^2 r(4 – r^2)\,dr = 2\pi \int_0^2 (4r – r^3)\,dr
\]

\[
= 2\pi \left[2r^2 – \frac{r^4}{4}\right]_0^2 = 2\pi \left(8 – 4\right) = 8\pi
\]

Resposta: \( V = 8\pi \)

2. Mudança de Variáveis com Jacobiano

Enunciado: Calcule \( \iint_R (x + y) \, dx\,dy \), onde \( R \) é o paralelogramo com vértices \( (0,0), (2,1), (3,3), (1,2) \). Use a mudança de variáveis:
\( u = x + y, \quad v = x – 2y \).

Resolução:

Encontramos a inversa da transformação e o Jacobiano:

\[
\begin{cases}
x = \frac{2u + v}{3} \\
y = \frac{u – v}{3}
\end{cases}
\Rightarrow
J = \left| \frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)} \right| =
\left| \begin{matrix}
\frac{2}{3} & \frac{1}{3} \\
\frac{1}{3} & -\frac{1}{3}
\end{matrix} \right| = -\frac{1}{3}
\Rightarrow |J| = \frac{1}{3}
\]

A nova região \( S \) no plano \( uv \) é um retângulo. Após mudança de variáveis:

\[
\iint_S u \cdot \frac{1}{3} \, du\,dv = \frac{1}{3} \int_{u_1}^{u_2} u \, du \int_{v_1}^{v_2} dv
\]

Fazendo os limites corretamente com os vértices, obtemos \( S = [0,6] \times [-3,3] \). Calculando:

\[
\frac{1}{3} \left[ \int_0^6 u\,du \right] \cdot \left[ \int_{-3}^3 dv \right]
= \frac{1}{3} \cdot \left[ \frac{u^2}{2} \right]_0^6 \cdot [v]_{-3}^3 = \frac{1}{3} \cdot 18 \cdot 6 = 108
\]

Resposta: \( 108 \)

3. Coordenadas Esféricas

Enunciado: Calcular o volume da região dentro da esfera \( x^2 + y^2 + z^2 = a^2 \).

Resolução: Usamos coordenadas esféricas:

\[
\iiint_D 1 \cdot \rho^2 \sin\phi \, d\rho\,d\phi\,d\theta
\]

\[
= \int_0^{2\pi} \int_0^\pi \int_0^a \rho^2 \sin\phi \, d\rho\,d\phi\,d\theta
= \int_0^{2\pi} d\theta \int_0^\pi \sin\phi\,d\phi \int_0^a \rho^2\,d\rho
\]

\[
= 2\pi \cdot 2 \cdot \frac{a^3}{3} = \frac{4}{3}\pi a^3
\]

Resposta: \( \frac{4}{3} \pi a^3 \)

4. Centro de Massa com Densidade

Enunciado: Encontre o centro de massa de um semicírculo de raio \( R \), de densidade constante \( \delta \), no plano \( xy \), acima do eixo \( x \).

Resolução: Por simetria, \( \bar{x} = 0 \). Trabalhamos em coordenadas polares:

\[
M = \iint_D \delta \, dA = \delta \int_0^\pi \int_0^R r \, dr \, d\theta = \delta \cdot \pi \cdot \frac{R^2}{2}
\]

\[
\bar{y} = \frac{1}{M} \iint_D y \delta \, dA = \frac{1}{M} \delta \int_0^\pi \int_0^R r\sin\theta \cdot r \, dr\,d\theta = \frac{\delta}{M} \int_0^\pi \sin\theta \, d\theta \int_0^R r^2 \, dr
\]

\[
= \frac{\delta}{M} \cdot 2 \cdot \frac{R^3}{3} = \frac{2\delta R^3}{3M}
\Rightarrow \bar{y} = \frac{2\delta R^3}{3 \cdot \delta \cdot \frac{\pi R^2}{2}} = \frac{4R}{3\pi}
\]

Resposta: \( \bar{x} = 0, \quad \bar{y} = \frac{4R}{3\pi} \)

5. Momento de Inércia

Enunciado: Calcular o momento de inércia de uma lâmina circular de raio \( R \) e densidade constante \( \delta \), em torno do centro.

Resolução: Em coordenadas polares:

\[
I = \iint_D r^2 \delta \, dA = \delta \int_0^{2\pi} \int_0^R r^3 \, dr\,d\theta = \delta \cdot 2\pi \cdot \frac{R^4}{4}
\Rightarrow I = \frac{1}{2} \delta \pi R^4
\]

Resposta: \( I = \frac{1}{2} \delta \pi R^4 \)

6. Integral de Linha

Enunciado: Calcular o trabalho feito por \( \vec{F} = y\hat{i} + x\hat{j} \) ao mover uma partícula da origem até \( (1,1) \) ao longo da curva \( y = x^2 \).

Resolução: Parametrização: \( x = t, y = t^2 \), com \( 0 \leq t \leq 1 \)

\[
\vec{r}(t) = (t, t^2), \quad \vec{r}\,'(t) = (1, 2t), \quad \vec{F}(t) = (t^2, t)
\]

\[
\vec{F} \cdot \vec{r}\,’ = t^2 \cdot 1 + t \cdot 2t = t^2 + 2t^2 = 3t^2
\Rightarrow \int_0^1 3t^2 dt = t^3 |_0^1 = 1
\]

Resposta: Trabalho = 1

7. Campo Conservativo

Enunciado: Verifique se \( \vec{F}(x, y) = (2xy, x^2) \) é conservativo e, se for, calcule \( \int_C \vec{F} \cdot d\vec{r} \), de \( (0,0) \) até \( (1,1) \).

Resolução: Derivadas cruzadas:

\[
\frac{\partial Q}{\partial x} = 2x, \quad \frac{\partial P}{\partial y} = 2x \Rightarrow \vec{F} \text{ é conservativo}
\]

Encontramos \( f \) tal que \( \nabla f = \vec{F} \):

\[
\frac{\partial f}{\partial x} = 2xy \Rightarrow f(x,y) = x^2y + C(y)
\]

\[
\frac{\partial f}{\partial y} = x^2 \Rightarrow C'(y) = 0 \Rightarrow f(x,y) = x^2y
\]

\[
\int_C \vec{F} \cdot d\vec{r} = f(1,1) – f(0,0) = 1 – 0 = 1
\]

Resposta: 1

8. Teorema de Green

Enunciado: Calcular a integral de linha \( \oint_C (x^2 – y^2)\,dx + 2xy\,dy \), onde \( C \) é o contorno da região entre \( x^2 + y^2 = 1 \) e \( x^2 + y^2 = 4 \), orientado positivamente.

Resolução: Pelo Teorema de Green:

\[
\oint_C P\,dx + Q\,dy = \iint_R \left( \frac{\partial Q}{\partial x} – \frac{\partial P}{\partial y} \right) dx\,dy
\]

\[
\frac{\partial Q}{\partial x} = 2y, \quad \frac{\partial P}{\partial y} = -2y \Rightarrow 2y – (-2y) = 4y
\]

Usamos coordenadas polares para \( R \):

\[
\iint_R 4y\,dx\,dy = \iint_R 4r\sin\theta \cdot r \, dr\,d\theta = 4 \int_0^{2\pi} \int_1^2 r^2 \sin\theta \, dr\,d\theta
\]

\[
= 4 \int_0^{2\pi} \sin\theta\,d\theta \int_1^2 r^2 \, dr = 0 \cdot \left(\cdots\right) = 0
\]

Resposta: 0