Esta revisão cobre os principais tópicos para sua prova de Cálculo 3, abordando integrais múltiplas, mudança de variáveis, coordenadas esféricas, centro de massa, momento de inércia, integrais de linha, campos conservativos e o Teorema de Green. As fórmulas estão em LaTeX para renderização com MathJax.
1. Integrais Triplas
A integral tripla permite calcular o volume ou propriedades físicas de uma região tridimensional \( D \):
\[
\iiint_D f(x, y, z) \, dV
\]
O elemento de volume \( dV \) pode ser expresso como \( dx\,dy\,dz \), \( dy\,dz\,dx \), etc., dependendo da ordem de integração. A escolha depende da geometria da região \( D \).
Exemplo:
Calcular o volume abaixo da superfície \( z = 1 – x^2 – y^2 \) e acima do plano \( z = 0 \).
Converte-se a integral para coordenadas cilíndricas:
\[
x = r\cos\theta, \quad y = r\sin\theta, \quad z = z, \quad dV = r\,dr\,d\theta\,dz
\]
O domínio \( D \) é um cilindro com base no disco \( x^2 + y^2 \leq 1 \), então:
\[
\iiint_D 1\, dV = \int_0^{2\pi} \int_0^1 \int_0^{1 – r^2} r\,dz\,dr\,d\theta
\]
2. Mudança de Variáveis na Integral Tripla
Quando fazemos uma mudança de variáveis \( (x, y, z) \to (u, v, w) \), a integral é reescrita como:
\[
\iiint_{D} f(x, y, z) \, dx\,dy\,dz = \iiint_{D’} f(x(u,v,w), y(u,v,w), z(u,v,w)) \left| \frac{\partial(x,y,z)}{\partial(u,v,w)} \right| \, du\,dv\,dw
\]
O determinante do Jacobiano é essencial para ajustar a medida de volume:
\[
J = \left| \frac{\partial(x,y,z)}{\partial(u,v,w)} \right|
\]
3. Coordenadas Esféricas
Para regiões esféricas, é conveniente usar coordenadas esféricas:
- \( x = \rho \sin\phi \cos\theta \)
- \( y = \rho \sin\phi \sin\theta \)
- \( z = \rho \cos\phi \)
- \( dV = \rho^2 \sin\phi \, d\rho \, d\phi \, d\theta \)
Onde:
- \( \rho \): distância ao centro
- \( \theta \in [0, 2\pi] \): ângulo azimutal
- \( \phi \in [0, \pi] \): ângulo polar
Exemplo:
Volume da esfera de raio \( R \):
\[
\iiint_{\text{esfera}} 1 \, dV = \int_0^{2\pi} \int_0^{\pi} \int_0^R \rho^2 \sin\phi \, d\rho \, d\phi \, d\theta = \frac{4}{3}\pi R^3
\]
4. Centro de Massa
Para uma densidade \( \delta(x,y,z) \), o centro de massa \( (\bar{x}, \bar{y}, \bar{z}) \) de uma região \( D \) é:
\[
\bar{x} = \frac{1}{M} \iiint_D x \delta(x, y, z) \, dV, \quad
\bar{y} = \frac{1}{M} \iiint_D y \delta(x, y, z) \, dV, \quad
\bar{z} = \frac{1}{M} \iiint_D z \delta(x, y, z) \, dV
\]
Onde \( M = \iiint_D \delta(x, y, z) \, dV \) é a massa total.
5. Momento de Inércia
O momento de inércia de uma região \( D \) em torno de um eixo depende da distância ao eixo:
- Em relação ao eixo \( z \):
- Em relação ao eixo \( x \):
\[
I_z = \iiint_D (x^2 + y^2) \delta(x, y, z) \, dV
\]
\[
I_x = \iiint_D (y^2 + z^2) \delta(x, y, z) \, dV
\]
O termo dentro da integral representa \( r^2 \), a distância ao eixo de rotação.
6. Integrais de Linha
Para um campo vetorial \( \vec{F}(x, y) = P(x, y)\hat{i} + Q(x, y)\hat{j} \), a integral de linha ao longo de uma curva \( C \) parametrizada por \( \vec{r}(t) = (x(t), y(t)) \) é:
\[
\int_C \vec{F} \cdot d\vec{r} = \int_a^b \vec{F}(\vec{r}(t)) \cdot \vec{r}\,'(t) \, dt
\]
Também pode ser escrita como:
\[
\int_C P\,dx + Q\,dy
\]
7. Campos Conservativos
Um campo \( \vec{F} \) é conservativo se existe uma função potencial \( f \) tal que:
\[
\vec{F} = \nabla f
\]
Nesse caso:
\[
\int_C \vec{F} \cdot d\vec{r} = f(B) – f(A)
\]
Ou seja, depende apenas dos pontos inicial e final, e não do caminho.
Critério para campo conservativo (em \( \mathbb{R}^2 \)):
Se \( \vec{F} = P(x, y)\hat{i} + Q(x, y)\hat{j} \) e \( \frac{\partial Q}{\partial x} = \frac{\partial P}{\partial y} \) em uma região simplesmente conexa, então \( \vec{F} \) é conservativo.
8. Teorema de Green
Converte uma integral de linha em uma integral dupla sobre a região \( R \) delimitada por \( C \):
\[
\oint_C P\,dx + Q\,dy = \iint_R \left( \frac{\partial Q}{\partial x} – \frac{\partial P}{\partial y} \right) \, dx\,dy
\]
Onde:
- \( C \): curva fechada simples e positivamente orientada (sentido anti-horário)
- \( R \): região interior a \( C \)
Aplicações:
- Cálculo de áreas
- Verificação de campos conservativos
- Conversão de integrais de linha para integrais duplas
Conclusão
Dominar esses tópicos exige prática em parametrizar regiões, manipular integrais múltiplas e identificar simetrias. Refaça exercícios com foco em visualizar as regiões e aplicar corretamente as transformações de coordenadas.
Boa prova!