O Teorema da Energia Cinética é um conceito importante em física que relaciona o trabalho realizado sobre um objeto com a variação da sua energia cinética. Esse teorema é uma consequência direta da segunda lei de Newton e da definição de trabalho.
Em termos simples, o teorema afirma que o trabalho realizado sobre um objeto é igual à variação de sua energia cinética. Isso pode ser expresso pela seguinte equação:
Fórmula do Teorema da Energia Cinética:
\[
T = \Delta E_c = E_{c,f} – E_{c,i}
\]
Onde:
- \( T \): Trabalho realizado sobre o objeto (em joules, J)
- \( \Delta E_c \): Variação da energia cinética (em joules, J)
- \( E_{c,f} \): Energia cinética final (em joules, J)
- \( E_{c,i} \): Energia cinética inicial (em joules, J)
Ou seja, o trabalho realizado sobre o objeto é igual à diferença entre a energia cinética final e a energia cinética inicial do objeto.
Como chegamos nessa fórmula?
O teorema da energia cinética é uma aplicação direta da definição de trabalho. O trabalho \( T \) realizado por uma força \( F \) sobre um objeto é dado por:
\[
T = F \cdot d \cdot \cos(\theta)
\]
Onde \( F \) é a força, \( d \) é o deslocamento e \( \theta \) é o ângulo entre a força e o deslocamento. Para um caso em que a força é constante e atua na direção do movimento, o trabalho pode ser simplificado para:
\[
T = F \cdot d
\]
De acordo com a segunda lei de Newton, a força \( F \) é igual a:
\[
F = m \cdot a
\]
Substituímos isso na equação do trabalho:
\[
T = m \cdot a \cdot d
\]
Agora, vamos usar a relação entre aceleração \( a \), velocidade \( v \) e deslocamento \( d \). Sabemos que a aceleração é a taxa de variação da velocidade, e que o deslocamento está relacionado com a velocidade:
\[
v^2 = v_0^2 + 2 a d
\]
Para o caso em que o objeto parte do repouso (\( v_0 = 0 \)), temos:
\[
v^2 = 2 a d
\]
Agora podemos resolver para o deslocamento \( d \) em termos de \( v \) e \( a \):
\[
d = \frac{v^2}{2a}
\]
Substituímos esse valor de \( d \) na equação do trabalho:
\[
T = m \cdot a \cdot \frac{v^2}{2a}
\]
Os \( a \) se cancelam, e obtemos a fórmula do trabalho em termos de \( v \):
\[
T = \frac{1}{2} m v^2
\]
Isso representa o trabalho necessário para acelerar um objeto de \( 0 \) a uma velocidade \( v \). Como sabemos que o trabalho realizado sobre o objeto é igual à variação da sua energia cinética, temos que:
\[
T = \Delta E_c = E_{c,f} – E_{c,i}
\]
Exemplos e Aplicações
Vamos agora analisar dois exemplos práticos para ilustrar o teorema da energia cinética.
Exemplo 1: Variação da energia cinética de um carro
Um carro de 1.500 kg acelera de 10 m/s para 20 m/s. Qual o trabalho realizado pela força que acelera o carro?
Exemplo 2: Variação da energia cinética de uma bola
Uma bola de 0,2 kg acelera de 5 m/s para 15 m/s. Qual o trabalho realizado pela força?
Tabela Resumo
| Grandeza | Fórmula |
|---|---|
| Teorema da Energia Cinética | \( T = \Delta E_c = E_{c,f} – E_{c,i} \) |